第 06 节:z-score：把不同尺子上的数放到同一条线上

本节 objectives:

• 能计算 z-score：z = (x - mean) / sd
• 能解释 z-score 的正负号和大小
• 能用 z-score 比较不同分布中的位置

先修: 标准差、正态曲线、经验法则 ｜ 上一节: << 05 ｜ 下一节: (无)

85 分到底好不好，要看它在哪个分布里

同样是 85 分，如果考试平均 80、标准差 5，它是平均数以上 1 个标准差；如果平均 60、标准差 25，它也是平均数以上 1 个标准差。z-score 把“离平均数多远”写成标准差的倍数，使不同量纲可以比较¹²。

讲解

公式只有一个动作：先减中心，再除尺度

z = (x - mean) / sd

先用 x - mean 看这个值在平均数上方还是下方；再除以标准差，把普通距离换成“几个标准差”。

正负号和大小

z 为正，说明观测值高于平均数；z 为负，说明低于平均数；z 的绝对值越大，离平均数越远。z = 0 表示正好等于平均数。

与经验法则连起来

在近似正态分布中，z 在 -1 到 1 之间大约覆盖 68%；z 在 -2 到 2 之间大约覆盖 95%；z 超过 2 或低于 -2 就已经在相对少见的尾部。

跟我做一遍(worked example)

题目：小林数学 88 分，班级平均 80，标准差 4。英语 92 分，班级平均 84，标准差 8。哪科相对表现更突出？

1. 数学 z-score：(88 - 80) / 4 = 2。
2. 英语 z-score：(92 - 84) / 8 = 1。
3. 比较：数学高出平均数 2 个标准差；英语高出 1 个标准差。
4. 结论：虽然英语原始分更高，数学的相对位置更突出。

这就是 z-score 的用处：把不同平均数、不同标准差的分数放到同一条标准尺上。

换你补全(faded example)

两个跑步成绩都要和各自组内比较。

哪一项相对更突出？为什么？

答案：速度 z = (76 - 70) / 3 = 2；耐力 z = (84 - 78) / 6 = 1。速度相对更突出，因为它高出组平均 2 个标准差。

小结 + 通向下一节

z-score 是标准化位置：先离开平均数多少，再换成标准差的倍数。到这里，你已经能从一组数据的离散程度出发，走到正态曲线、经验法则和跨尺度比较。

Footnotes

1. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: Standard Normal Distribution — https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3671.htm ↩

2. Khan Academy: Z-scores review — https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review ↩