第 04 节:正态曲线：平均数旁边的钟形山

本节 objectives:

• 能说出正态分布曲线的中心、对称性和面积含义
• 能在曲线上标出平均数与 1、2、3 个标准差位置
• 能解释为什么标准差控制曲线的宽窄

先修: 平均数、标准差 ｜ 上一节: << 03 ｜ 下一节: 05 >>

标准差开始变成一把横向尺

正态分布是一条钟形、对称的曲线，中心在平均数处；NIST 的工程统计手册把正态分布列为最重要、最常用的连续分布之一，并用均值和标准差两个参数刻画它的位置与尺度¹。

讲解

曲线的中心：平均数

在正态分布中，曲线关于平均数对称。平均数左边和右边各占总面积的一半。这里的“面积”表示比例或概率：曲线下总面积是 1²。

曲线的宽窄：标准差

如果平均数相同，标准差小的曲线更窄、更高；标准差大的曲线更宽、更平。标准差越大，数据越可能散到离平均数更远的位置。

标准正态分布

一种特殊正态分布的平均数是 0，标准差是 1，叫标准正态分布。z-score 会把任意正态分布中的位置转换到这条标准尺上³。

跟我做一遍(worked example)

题目：某考试分数近似服从正态分布，平均数 70，标准差 10。请在数轴上标出中心和几个关键位置。

1. 平均数：70，放在曲线最高处。
2. 1 个标准差：70 - 10 = 60；70 + 10 = 80。
3. 2 个标准差：50 和 90。
4. 3 个标准差：40 和 100。

解释：60 到 80 是平均数左右各 1 个标准差的区域；50 到 90 是左右各 2 个标准差的区域。下一节会把这些区域对应的人群比例估出来。

换你补全(faded example)

某机器生产的零件长度近似正态，平均长度 100 mm，标准差 3 mm。

答案：100；97；103；94；106。

小结 + 通向下一节

正态曲线用平均数定中心，用标准差定横向尺度，用曲线下面积表示比例。下一节用经验法则快速估算：有多少数据会落在平均数周围 1、2、3 个标准差内。

Footnotes

1. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: Normal Distribution — https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htm ↩

2. OpenStax Introductory Business Statistics 2e: Using the Normal Distribution — https://openstax.org/books/introductory-business-statistics-2e/pages/6-2-using-the-normal-distribution ↩

3. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: Standard Normal Distribution — https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3671.htm ↩