第 02 节:把“散”压成一个数：方差与标准差

本节 objectives:

• 能按步骤手算一组数据的方差和标准差
• 能解释为什么先平方偏差、最后再开方
• 能用标准差描述“典型地离平均数多远”

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离平均数的距离不能直接相加

如果一组数据围着平均数左右摆动，低于平均数的偏差是负数，高于平均数的偏差是正数。直接把偏差相加，常常会互相抵消成 0。方差的做法是先把每个偏差平方，再取平均；标准差再把方差开方，回到原数据的单位¹²。

讲解

方差：平方后的平均偏差

以总体数据为例，方差的步骤是：

1. 求平均数。
2. 每个数减平均数，得到偏差。
3. 每个偏差平方。
4. 把平方偏差取平均。

平方有两个作用：负偏差不再抵消正偏差；离中心越远的点权重更大¹。

标准差：把单位拿回来

如果数据单位是“分钟”，方差的单位会变成“平方分钟”。标准差是方差的平方根，所以单位回到“分钟”。因此标准差更适合口头解释：一个典型观测值大约离平均数多少个原单位²。

标准差不是“最大偏差”

标准差不是最大值离平均数的距离，也不是所有距离的普通平均。它是经过平方、平均、开方后的代表性离散尺度。

跟我做一遍(worked example)

题目：把 8, 9, 10, 11, 12 当作一个完整总体，求总体方差和总体标准差。

1. 平均数：(8 + 9 + 10 + 11 + 12) / 5 = 10。
2. 偏差：-2, -1, 0, 1, 2。
3. 平方偏差：4, 1, 0, 1, 4。
4. 方差：(4 + 1 + 0 + 1 + 4) / 5 = 2。
5. 标准差：sqrt(2) ≈ 1.41。

解释：这组数的典型离散尺度约为 1.41 个单位。它不是说每个数都离平均数 1.41，而是说整组数据的散开程度可以用这个数字概括。

换你补全(faded example)

把 6, 8, 10, 12, 14 当作完整总体，补全表格。

答案：平均数 10；偏差 -4、-2、0、2、4；平方偏差 16、4、0、4、16；方差 40/5 = 8；标准差 sqrt(8) ≈ 2.83。

小结 + 通向下一节

方差把离平均数的偏差平方后平均；标准差再开方，成为更容易解释的离散尺度。下一节处理一个细节：如果你手上的只是样本，而不是完整总体，分母会变。

Footnotes

1. Khan Academy: Variance and standard deviation of a population — https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/summarizing-quantitative-data/variance-standard-deviation-population/a/population-standard-deviation ↩ ↩²

2. OpenStax Introductory Statistics 2e: Standard Deviation in Measures of the Spread — https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-7-measures-of-the-spread-of-the-data ↩ ↩²