第 05 节:不用查表的第一把尺：68-95-99.7

本节 objectives:

• 能说出经验法则的三个比例：约 68%、95%、99.7%
• 能把平均数和标准差转换成具体区间
• 能判断一个正态数据点是否罕见

先修: 正态曲线、标准差 ｜ 上一节: << 04 ｜ 下一节: 06 >>

正态曲线上，标准差不只是单位

对近似正态分布的数据，经验法则说：约 68% 的数据落在平均数左右 1 个标准差内，约 95% 落在 2 个标准差内，约 99.7% 落在 3 个标准差内¹²。这不是所有分布都成立的法则，它依赖“近似正态”。

讲解

先把区间写出来

如果平均数是 70，标准差是 10：

• 1 个标准差内：60 到 80。
• 2 个标准差内：50 到 90。
• 3 个标准差内：40 到 100。

然后再贴比例：约 68%、95%、99.7%。

曲线两侧要平分

因为正态曲线对称，平均数左右各占一半。若 95% 在 2 个标准差内，那么大约 5% 在两端外侧，左右各约 2.5%。

经验法则是估算，不是精确查表

经验法则适合快速判断“常见不常见”。如果需要精确概率，通常要查标准正态表或用计算器。

跟我做一遍(worked example)

题目：成年男性某项指标近似正态，平均数 100，标准差 15。估算 70 到 130 之间的人占多少。

1. 找中心：平均数 100。
2. 看距离：70 比 100 低 30，130 比 100 高 30。
3. 换成标准差数：30 / 15 = 2，所以区间是平均数左右 2 个标准差。
4. 用经验法则：约 95% 的人落在这个区间。

解释：70 和 130 不是随便两个数，它们正好是 mean ± 2 sd。

换你补全(faded example)

某考试分数近似正态，平均数 80，标准差 5。

答案：75 到 85，约 68%；70 到 90，约 95%；90 是平均数以上 2 个标准差，上尾约 2.5%。

小结 + 通向下一节

经验法则把标准差变成了比例估算工具。下一节学习 z-score：不用每次说“高于平均数 2 个标准差”，而是直接写成一个标准化分数。

Footnotes

1. OpenStax Introductory Business Statistics 2e: Using the Normal Distribution — https://openstax.org/books/introductory-business-statistics-2e/pages/6-2-using-the-normal-distribution ↩

2. Khan Academy: Normal distributions and the empirical rule — https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/more-on-normal-distributions/a/normal-distributions-and-the-empirical-rule ↩